Что такое корреляция

Введение

Корреляция, или коэффициент корреляции, показывает зависимость в движении между двумя активами (облигации, валюты, сырьевые товары, криптоактивы, а также отдельные активы с индексами). При этом корреляция описывает только линейную зависимость.

Если оба актива чаще растут и падают в одном направлении, говорят про положительную корреляцию.

Если один растёт, а другой в это время падает, то это отрицательная корреляция.

А если каждый актив живёт своей жизнью, то корреляция будет около нуля. Или можно сказать, что линейная зависимость отсутствует.

Ковариация и стандартное отклонение

В основе расчета корреляции лежат ковариация и стандартное отклонение.

• Ковариация — показывает то же, что и корреляция, но в неудобных единицах. Эту величину трудно интерпретировать, и её используют для промежуточных расчетов.
• Стандартное отклонение — знакомый нам из статьи оволатильности показатель, который отражает разброс доходностей активов.

После того как мы посчитали ковариацию и стандартное отклонение, мы можем перейти к расчету корреляции. Корреляция нормирует ковариацию и переводит её в безразмерную величину. Благодаря этому коэффициент всегда лежит в диапазоне от –1 до +1.

Соответственно, чем ближе корреляция к 1 или -1, тем сильнее зависимость между активами. А чем ближе к 0, тем слабее.

Например, если корреляция между акциями А и Б равна 0.9, то это значит, что между доходностями двух активов очень сильная линейная связь. Когда один актив растёт, второй обычно тоже растёт, и их изменения по пропорции и направлению очень похожи.

Как рассчитать корреляцию

Предположим, у нас есть доходности двух акций за три месяца:

Считаем ковариацию

Для начала нужно найти средние доходности за три месяца для Сбербанка и Лукойла. Для каждого актива нужно сложить все доходности за три месяца и разделить на количество месяцев.

Сбербанк: (2 % + 4 % − 1 %)/3 = 1,67 %

Лукойл: (3 % + 6 % − 2 %)/3 = 2,33 %

• Месяц1: (2 − 1,67) × (3 − 2,33) = 0,33 × 0,67 ≈ 0,22.
• Месяц 2: (4 − 1,67) × (6 − 2,33) = 2,33 × 3,67 ≈ 8,55.
• Месяц 3: (−1 − 1,67) × (−2 − 2,33) = (−2,67) × (−4,33) ≈ 11,56.

Складываем и делим на количество периодов: (0,22 + 8,55 + 11,56)/3 ≈ 6,11. Это и есть ковариация между доходностями Сбербанка и Лукойла.

Но число 6,11 не очень удобно для интерпретации. Единственное, что можно сказать, это то, что оно положительное, значит акции Сбербанка и Лукойла движутся в одном направлении, но не говорит, насколько сильно они связаны между собой.

Считаем стандартное отклонение

Чтобы посчитать стандартное отклонение, нужно сначала посчитать дисперсию, а затем извлечь из нее квадратный корень. Подробный расчет с примерами я приводил в статье про волатильность.

Сейчас же, чтобы не повторяться, я приведу лишь сами расчеты основных этапов без пояснений.

Средние значения доходностей

Сбербанк: (2 % + 4 % − 1 %)/3 = 1,67 %

Лукойл: (3 % + 6 % − 2 %)/3 = 2,33 %

Квадраты отклонений от средних

• 0.02 − 0.016667 = 0.003333 → (0.003333)² = 0.00001111
• 0.04 − 0.016667 = 0.023333 → (0.023333)² = 0.00054444
• −0.01 − 0.016667 = −0.026667 → (−0.026667)² = 0.00071111

• 0.03 − 0.023333 = 0.006667 → (0.006667)² = 0.00004444
• 0.06 − 0.023333 = 0.036667 → (0.036667)² = 0.00134444
• −0.02 − 0.023333 = −0.043333 → (−0.043333)² = 0.00187777

Дисперсия

Сбербанк: 0.00126666 / 3 ≈ 0.00042222

Лукойл: 0.00326665 / 3 ≈ 0.00108888

Стандартное отклонение

Сбербанк: √0.00042222 ≈ 0.02054 (2.05%)

Лукойл: √0.00108888 ≈ 0.03299 (3.30%)

Считаем корреляцию

Чтобы посчитать корреляцию, нужно разделить ковариацию на произведение стандартных отклонений:

Корреляция: 6,11 ÷ (2.05 × 3.30) ≈ 0.90

Число очень близко к единице, значит акции двигаются в одном направлении и довольно синхронно.

Зачем нужна корреляция

Для инвестора корреляция — главный инструмент в диверсификации портфеля. Если собрать активы, которые мало зависят друг от друга, можно снизить общую волатильность и риск.

Положительная корреляция показывает, что активы двигаются вместе, тем самым усиливая просадки и подъёмы, а отрицательная помогает сгладить колебания: один падает — другой растёт.

Нюансы и подводные камни

• Выбросы и короткие выборки. Одиночные экстремальные значения доходности могут исказить корреляцию, как и дисперсию. Один аномальный день способен повернуть коэффициент с положительного на отрицательный. Желательно всегда смотреть на цифры, которые принимались в расчетах любого коэффициента.
• Ложные связи. Высокая корреляция может возникнуть случайно, как забавная «связь» между количеством фильмов Николаса Кейджа и числом утоплений в бассейнах. Проверяйте экономический смысл отношений, а не полагайтесь на сухие цифры.
• Нестабильность. Корреляция не высечена в камне. Она меняется со временем, может распадаться в стрессовые периоды и восстанавливаться. Регулярно пересчитывайте её и не уповайте на раз и навсегда найденный коэффициент.

Заключение

Корреляция — это мера силы и направления связи между доходностями двух активов. Она рассчитывается как ковариация, нормированная на стандартные отклонения, благодаря чему принимает значения от −1 до +1. Положительные значения показывают, что активы двигаются в одну сторону, отрицательные — что ходят вразнобой, а нулевые — что линейной связи нет.

Эта величина лежит в основе диверсификации, расчёта беты и оценки рисков, но требует аккуратного обращения: учитывайте период, убирайте выбросы, помните о том, что корреляция — это не причинность и не стабильная величина.

Понимание корреляции помогает строить более устойчивые портфели и находить неожиданные торговые возможности — и, по совместительству, даёт повод задуматься, что некоторые статистические связи выглядят смешными, как многие решения на рынке.